2. Отрезок АН разделить (в Л₂) пополам. Рассмотрим в Л₂ скольжение S (T) по прямой XY, которое переводит точку А в точку В (рис.23); XY есть ось соответствующего преобразования. Точки X, Y

и полюс P прямой XY (центр преобразования) остаются при этом в покое, а точки С и D переходят соответственно в точки F и Е. Точка скрещения К этих двух пар точек, в силу известного свойства четырехугольника, вписанного в коническое сечение, лежит на оси XY (AB) па поляре диагональной точки P. Кроме того, К представляет собой середину отрезка AB в Л₂. В самом деле, двойное отношение {XY, DE} четырех точек конического сечения равно каждому из двойных отношении лучей

{CX, CY; CD, CE}

{FX, FY; FD, FE}.

Пересекая же оба пучка прямой XY, видим, что упомянутые двойные отношения равны двойным отношениям соответствующих точек этой прямой:

[XY, AK} = {XY, KB},

а это означает, что в Л₂ отрезки АК и КВ равны, т. е. К есть середина отрезка АВ.

По поводу этого построения заметим, что в силу известного свойства четырехугольника, вписанного в коническое сечение, на поляре XY диагональной точки P лежит не только вторая диагональная точка К, но и третья L, причем К и L делят гармонически как пару А, В, так и пару X, Y. Точку L иногда называют идеальной серединой отрезка AB. Поэтому можно сказать: в Л₂ обыкновенная и идеальная середины отрезка АВ делят гармонически как точки А, В так и точки пересечения прямой АВ с абсолютом.

Вместе с тем, если А, В и X, Y суть четыре коллинеарные точки в E₂, не разделяющие друг друга (так что две из них, скажем, А и В, лежат между двумя другими), то существует пара точек, делящая гармонически как одну, так и другую пару точек. Чтобы выполнить их построение, достаточно на XY построить коническое сечение, скажем, окружность, и, приняв его за абсолют, произвести предыдущее построение. Это предложение имеет тем большее значение, что оно послужило основанием всей интерпретации неевклидовой геометрии в коническом сечении.